Development of a nodal method for the solution of the neutron diffusion equation in cylindrical geometry
Loading...
Files
Date
2008-06
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Istanbul Technical University, Energy Institute
Abstract
Nükleer reaktörlerin birçok fiziksel özelliği nötron difüzyon teorisi ile
anlaşılmaktadır. Difüzyon teorisinin geçerli olabilmesi için reaktör ortamını
oluşturan binlerce küçük malzeme, ortalama tesir kesitleri ve difüzyon katsayıları kullanılarak homojenlestirilir. Bu homojenleştirme işlemine rağmen reaktör kalbi yine de oldukça heterojen bir ortam oluşturur. Bu heterojenlik yakıt demetleri arasındaki yakıt miktarları farkından, yanıcı zehirlerden, kontrol çubuklarından, su kanallarından, yapısal malzemelerden vs. kaynaklanır.
Geleneksel sonlu farklar yönteminde ağ aralığı iki gereksinimi karşılayacak şekilde seçilmelidir: (a) kalan heterojenliği gösterebilmeli (b) termal difüzyon uzunluğundan daha kısa olmalı. Böyle bir sonlu farklar modeli 100.000 - 1.000.000 kadar bilinmeyen içerir. Bu ise bilgisayar donanımında ki gelişmeye rağmen ürkütücü bir problemdir. Bunun yerine reaktör kalplerinde nötron akı dağılımını ve etkin çoğaltma katsayısını bulmak için çok sayıda yaklaşım yöntemi geliştirilmiştir. Bunlar nodal, kaba ağ ve sentez yöntemleri olarak sınıflandırılır. Nodal yöntemlerde, reaktör kalbi nod denilen büyük homojenleştirilmiş alanlara bölünür. Genellikle bir yakıt topluluğu (asemble) ya da toplulukları bir nod olarak tanımlanır. Böylece bilgisayar zamanından ve depolama alanından kazanılır. Nodal hesaplamalar sonucu bir yakıt topluluğu için güç ya da ortalama akı ve reaktör için etkin çoğaltma katsayısı bulunur. Nodal yöntemlerin temel fikri iki nod arasındaki yüzeyde nötron akımları ve bu nodlarda ortalama nötron akıları arasında ilişki kurmaktır. Bu ilişkiyi sağlayan bir katsayı matrisi oluşturulur.
Geleneksel ve dik yönde integre edilmiş nodal yöntemler olmak üzere birbirinden oldukça farklı iki sınıf nodal yöntem geliştirilmiştir. Her ikisi de aynı nodal denge denklemini kullanmalarına rağmen ayrık sistemi çözecek ek denklemleri farklı şekilde türetirler. Bu tezin teorik temelini dik yönde integrasyon yaparak elde edilen nodal açılım yöntemi oluşturur.
Bu çalışmada polinom açılım yöntemlerinden biri olan nodal açılım yöntemlerinden en düşük dereceden olanı kullanılmıştır. Sistem geometrisi olarak bir boyutlu silindir alınmıştır. Açılım katsayılarının bulunmasında Fick Yasasından, ayrık nodal denge denkleminden ve normal akımın sürekliliğinden yararlanılmıştır. Her bir nod için ikisi Fick Yasasından biri ayrık nodal denge denkleminden olmak üzere üç denklem
ya da bir başka ifadeyle üç vektör elde edilmiştir. Bu denklemler bir katsayı matrisini olustururlar. Çok gruplu difüzyon teorisi için yetkinlik-özdeğer hesaplamaları yapabilen bir bilgisayar programı bu matris formundan yararlanılarak geliştirilmiştir. Bu program FORTRAN 90 dilinde yazılmış ve WINDOWS isletim sisteminde koşulmuştur. Derleyici olarak FORTRAN Power Station 4.0 kullanılmıştır. Bu program çok gruplu nötron difüzyon denklemini çok bölgeli bir sistem için çözerek etkin çoğaltma
katsayısını, akı ve akım dağılımını ve ortalama akımları bulma yeteneğine sahiptir. Bu FORTRAN programının ismi olarak, R yönünde nodal açılım yöntemi kelimelerinin İngilizce bas harflerinden oluşan NEMR seçilmiştir.
NEMR programını doğrulamak için bir gruplu, bir grup iki bölgeli, iki gruplu
problemlerin analitik çözümleri bulunmuş, bu sonuçlar hem NEMR programının sonuçları ile hem de lineer ve kuadratik sonlu elemanlar yöntemi ile karsılaştırılmıştır. Sonlu elemanlar yöntemi için QFEMR programı kullanılmıştır. Son olarak iki grup çok bölgeli bir reaktör olan TRIGA reaktörü için program koşulmuş ve bütün bu problemlerde NEMR programının tutarlı ve doğru sonuçlar verdiği gözlenmiştir. Bu tezin amacı sonsuz silindirik bir ortam için nodal yöntem programı geliştirmek ve
nodal yöntemler ile sonlu elemanlar yöntemini karşılaştırmak, hangi yöntemin hangi durumlarda daha iyi sonuç verdiğini gözlemlemek olmuştur. Test problemlerinden görüleceği gibi bilgisayar programı doğrulanmış ve geliştirilen nodal yöntemin sonlu elemanlar yöntemlerine göre nod sayısının oldukça az olduğu kaba ağlarda daha iyi sonuçlar verdiği görülmüştür.
Diffusion theory is sufficiently accurate to provide a quantitative understanding of many physics features of nuclear reactors. A homogenized mixture with average cross-sections and diffusion coefficients are used to create a computational model for which diffusion theory is valid. Even after assembly homogenization, the reactor core remains a highly heterogeneous medium because of assembly-to assembly variation in fuel composition, burnable poisons, control rods, water channels, and structure and so on. The mesh spacing in a conventional few-group finite difference model of the core is constrained by two requirements: (a) Representation of the remaining heterogeneity (b) it must be shorter than thermal diffusion length. Such finite difference model requires 100,000 to 1,000,000 unknowns. This is a formidable problem even today despite tremendous advances in computer hardware. A large number of approximation methods has been developed to enable a more computationally tractable solution for the effective multiplication constant and neutron flux distribution in reactor cores. These methods can be classified as nodal, coarse-mesh and synthesis methods. In nodal methods, the reactor core is subdivided into large homogenized regions and each such region constitutes a node. Usually a subassembly (or sometimes a group of assemblies) is defined as a node. Nodal calculations are carried out to determine the effective multiplication factor and assembly powers (or assembly average fluxes). The essential idea of nodal methods is to relate neutron currents across an interface between two nodes to the average flux levels in those two nodes; that of the coefficient matrix is to relate the fluxes and currents on the nodal surfaces directly to each other. Two rather distinct classes of nodal methods have evolved; conventional and transverse integrated. They have a common foundation in the discrete nodal balance equation and are characterized by the techniques they employ to derive the additional equations necessary to solve the discrete system. Transverse integrated nodal expansion method constitutes the theoretical basis of this thesis. In this work, a lowest order nodal expansion method has been developed in one dimensional cylindrical geometry. The expansion coefficients are determined by applying Fick’s law in combination with discrete nodal balance equation and continuity of normal current. Three equations for each node are obtained. Nodal balance equation constitutes one equation and other two equations are derived from Fick’s law. These equations are used to form a coefficient matrix. A computer program which can carry out criticality-eigenvalue calculations in multigroup diffusion theory is developed using this matrix form. The program has been written in FORTRAN 90 and run in WINDOWS operating system. It is compiled in FORTRAN Power Station Version 4.0. It is capable of calculating effective multiplication factor, flux and current distribution, average fluxes for multi-group and multi-region problems. It has been named NEMR (Nodal Expansion Method in R direction) In order to validate this program, it was run for the problems with known analytical solutions. Results were compared with calculated values and finite element method solutions which were obtained using a FORTRAN program called QFEMR. (Quadratic Finite Element Method in R direction) Four problems extend from a simple bare, one group reactor to two-group, seven- region TRIGA reactor were cosidered. Effective multiplication factors, flux distributions and average fluxes were compared with analytical solutions. The objective of this thesis has been to develop a nodal method program for infinite cylinder and compare nodal and finite elements methods. It has been seen from the benchmarking problems that this aim has been accomplished. Nodal expansion method and quadratic finite element method were shown to be of better accuracy with respect to linear finite element method. It also appears that nodal expansion method is a practical method for the problems in which the mesh is very coarse.
Diffusion theory is sufficiently accurate to provide a quantitative understanding of many physics features of nuclear reactors. A homogenized mixture with average cross-sections and diffusion coefficients are used to create a computational model for which diffusion theory is valid. Even after assembly homogenization, the reactor core remains a highly heterogeneous medium because of assembly-to assembly variation in fuel composition, burnable poisons, control rods, water channels, and structure and so on. The mesh spacing in a conventional few-group finite difference model of the core is constrained by two requirements: (a) Representation of the remaining heterogeneity (b) it must be shorter than thermal diffusion length. Such finite difference model requires 100,000 to 1,000,000 unknowns. This is a formidable problem even today despite tremendous advances in computer hardware. A large number of approximation methods has been developed to enable a more computationally tractable solution for the effective multiplication constant and neutron flux distribution in reactor cores. These methods can be classified as nodal, coarse-mesh and synthesis methods. In nodal methods, the reactor core is subdivided into large homogenized regions and each such region constitutes a node. Usually a subassembly (or sometimes a group of assemblies) is defined as a node. Nodal calculations are carried out to determine the effective multiplication factor and assembly powers (or assembly average fluxes). The essential idea of nodal methods is to relate neutron currents across an interface between two nodes to the average flux levels in those two nodes; that of the coefficient matrix is to relate the fluxes and currents on the nodal surfaces directly to each other. Two rather distinct classes of nodal methods have evolved; conventional and transverse integrated. They have a common foundation in the discrete nodal balance equation and are characterized by the techniques they employ to derive the additional equations necessary to solve the discrete system. Transverse integrated nodal expansion method constitutes the theoretical basis of this thesis. In this work, a lowest order nodal expansion method has been developed in one dimensional cylindrical geometry. The expansion coefficients are determined by applying Fick’s law in combination with discrete nodal balance equation and continuity of normal current. Three equations for each node are obtained. Nodal balance equation constitutes one equation and other two equations are derived from Fick’s law. These equations are used to form a coefficient matrix. A computer program which can carry out criticality-eigenvalue calculations in multigroup diffusion theory is developed using this matrix form. The program has been written in FORTRAN 90 and run in WINDOWS operating system. It is compiled in FORTRAN Power Station Version 4.0. It is capable of calculating effective multiplication factor, flux and current distribution, average fluxes for multi-group and multi-region problems. It has been named NEMR (Nodal Expansion Method in R direction) In order to validate this program, it was run for the problems with known analytical solutions. Results were compared with calculated values and finite element method solutions which were obtained using a FORTRAN program called QFEMR. (Quadratic Finite Element Method in R direction) Four problems extend from a simple bare, one group reactor to two-group, seven- region TRIGA reactor were cosidered. Effective multiplication factors, flux distributions and average fluxes were compared with analytical solutions. The objective of this thesis has been to develop a nodal method program for infinite cylinder and compare nodal and finite elements methods. It has been seen from the benchmarking problems that this aim has been accomplished. Nodal expansion method and quadratic finite element method were shown to be of better accuracy with respect to linear finite element method. It also appears that nodal expansion method is a practical method for the problems in which the mesh is very coarse.
Description
Keywords
Nodal expansion method, Nodal açılım yöntemi, Finite elements method, Sonlu elemanlar yöntemi, Neutron diffusion theory, Nötron difüzyon teorisi
Citation
Mercimek, M. (2008). Development of a nodal method for the solution of the neutron diffusion equation in cylindrical geometry. (Yayımlanmamış yüksek lisans tezi). İstanbul : Istanbul Technical University, Energy Institute.